Sur les collapses de corps différentiels colorés en caractéristique nulle décrits par Poizat à l'aide des amalgames à la Hrushovski

En 1991, Hrushovski [7, 5] donna une preuve de la conjecture de Mordell-Lang pour les corps de fonctions. Ce résultat était déjà connu en caractéristique nulle, mais l’originalité de cette nouvelle preuve réside dans son approche uniforme en toutes caractéristiques. Elle consiste à remplacer la structure du corps algébriquement clos de base, par une structure de corps dans laquelle l’énoncé de Mordell-Lang est équivalent à la notion modèle-théorique de monobasé pour un certain sous-groupe. En caractéristique nulle, il s’agit de montrer qu’un sous-groupe différentiel, le noyau de Manin, est monobasé. Il est alors utilisé un principe de dichotomie qui est satisfait par les géométries non triviales vivant dans un corps différentiel universel (appelé corps différentiellement clos) : ces géométries sont typiques de celle d’un corps algébriquement clos (dans ce cas, le corps des constantes) ou de celle d’un espace vectoriel. Au début des années 80, Zilber avait conjecturé ce principe de dichotomie pour toute géométrie associée à un ensemble fortement minimal. On rappelle qu’un ensemble fortement minimal est un ensemble irréductible de dimension 1. Cette conjecture fut réfutée par Hrushovski [9] qui, par une méthode d’amalgamation utilisant des idées de Fräıssé , construisit des ensembles fortement minimaux avec des géométries plus exotiques. Cette méthode permit également à Poizat [14] de construire des corps ω-stables en toutes caractéristiques munis d’un sous-groupe additif de rang commensurable (qu’il nomma corps rouges) ainsi qu’un corps en caractéristique nulle de rang ω ·2 muni d’un sous-groupe multiplicatif divisible sans